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In mwbamatematica, e in particolare in mwbqgeometria solida e in mwbgteoria dei grafi, un mwbwpoliedro è un mwcasolido delimitato da un numero finito di mwcqfacce mwcgpiane mwcwpoligonali. Come primi poliedri da prendere in considerazione, per la loro semplicità, vi sono i mwdacubi, i mwdqparallelepipedi, le mwdgpiramidi e i mwdwprismi. Fra i poliedri più complessi occupano un ruolo centrale i cinque mweasolidi platonici, noti fin dall'mweqantica Grecia.

Il termine mwewpoliedro deriva dal mwfagreco πολύεδρον (πολύς, mwfqpolys = "molti" e ἔδρον, mwfgédron = "faccia"). Molti oggetti microscopici naturali (mwfwmolecole, mwgaprotozoi, mwgqvirus, etc.) hanno forme o mwggsimmetrie poliedrali. I mwgwcristalli si possono presentare in questa forma anche a livello macroscopico.

| Dodecaedro ( Poliedro platonico ) | Piccolo dodecaedro stellato ( Poliedro di Keplero-Poinsot ) |

|---|---|

| Icosidodecaedro ( Poliedro archimedeo ) | Prisma stellato ( Poliedro uniforme stellato) |

| Triacontaedro rombico ( Poliedro di Catalan ) | Ebesfenomegacorona ( Poliedro di Johnson ) |

• Nozioni di base

• Definizione

• Facce

• Spigoli

• Vertici

• Adiacenze e incidenze

• Quantità

• Altre nozioni

• Convessità

• Scheletro

• Sviluppo piano

• Struttura combinatoria e metrica

• Proprietà topologiche

• Topologia della superficie

• Relazione di Eulero

• Simmetrie

• Tipi di simmetria

• Piani, assi e centro di simmetria

• Chiralità

• Regolarità

• Gruppo di simmetria

• Dualità

• Classi di poliedri

• Prismatoidi

• Solidi platonici

• Poliedri di Keplero-Poinsot

• Poliedri uniformi

• Solidi di Johnson

• Poliedri composti

• Operazioni con i poliedri

• Troncamento

• Stellazione

• Tassellazione

• Poliedri nel mondo reale

• Naturali

• Artificiali

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

In mwvgmatematica non esiste una definizione univoca di poliedro.cite-ref-1[1] Nei casi più studiati, i poligoni formano una mwwwsuperficie che delimita una zona solida dello spazio: in questo caso per mwxapoliedro si intende questo solido, e non solo i poligoni che ne delimitano la superficie. Nei libri di testo la definizione formale di "poliedro" è spesso accompagnata da ipotesi tecniche aggiuntive, volte ad escludere alcuni casi considerati "patologici". Ad esempio, in Dedò (1999, p.mwxq 65) si definisce una mwxgsuperficie poliedrale come un numero finito di poligoni nello spazio tali che:

1. l'intersezione di due facce è vuota oppure è uno spigolo o un vertice,

2. ogni spigolo appartiene precisamente a due facce,

3. due facce adiacenti non sono complanari,

4. fissato un vertice mwza v {\displaystyle v} e due facce mwzq f , g {\displaystyle f,g} incidenti su mwzg v {\displaystyle v} , esiste una catena di facce mwzw f 1 , … … , f n {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}} contenenti mwaa v {\displaystyle v} tali che mwaq f = f 1 {\displaystyle f=f_{1}} , mwag g = f n {\displaystyle g=f_{n}} e mwaw f i {\displaystyle f_{i}} sia adiacente a mwba f i + 1 {\displaystyle f_{i+1}} per ogni mwbq i {\displaystyle i} .

La scelta di ipotesi tecniche aggiuntive non è però univoca e dipende fortemente dalla scelta dell'autore. Le ipotesi sopra elencate sono volte rispettivamente ad impedire che:

1. due facce si intersechino nel loro interno (cosa che però si deve ammettere se si vogliono considerare anche i mwcqpoliedri di Keplero-Poinsot, presenti in questa voce),

2. uno spigolo appartenga a 4, 6 o più facce, come nell'unione di due poliedri che si intersecano solo in uno spigolo,

3. due facce si sovrappongano, o che vi siano spigoli "finti" con angolo diedrale di 180°,

4. un vertice mwdq V {\displaystyle V} appartenga localmente a 2 o più pezzi distinti, come nell'unione di due poliedri che si intersecano solo in un vertice.

I poligoni sono le mwfgmwfwfacce del poliedro. Le facce possono avere le forme più svariate: possono essere tutte mwgacongruenti come nel mwgqcubo, avere sempre lo stesso numero di lati senza però essere congruenti come in un più generico mwggparallelepipedo, oppure avere numero di lati variabile come in un mwgwprisma o una mwhapiramide.

I lati delle facce sono gli mwhwmwiaspigoli del poliedro; per definizione, uno spigolo appartiene contemporaneamente a due facce distinte e la sua quantità più rappresentativa è la mwiqlunghezza. Un poliedro può possedere spigoli di lunghezza costante (come nel mwigcubo) o variabile.

Le due facce che toccano uno spigolo formano un angolo, detto mwjaangolo diedrale, che varia in generale da spigolo a spigolo, ma che può assumere un valore costante in alcuni poliedri: per esempio, nel cubo è sempre un mwjqangolo retto, mentre nel mwjgtetraedro è approssimativamente di 70° 32mwjw′.

I mwlwvertici delle facce (cioè le estremità degli spigoli) sono i mwmavertici del poliedro. Ogni vertice appartiene almeno a 3 facce distinte. Il numero mwmq n {\displaystyle n} di facce cui appartiene è anche uguale al numero di spigoli che tocca: questo numero è la mwmgvalenza del vertice.

La mwnacuspide di un vertice è la struttura locale del poliedro intorno a questo.

Si dicono mwpavertici adiacenti del poliedro due vertici che sono estremità di uno stesso spigolo; si dicono mwpqspigoli adiacenti del poliedro due spigoli che hanno un vertice in comune; si dicono mwpgfacce adiacenti del poliedro due facce che hanno uno spigolo in comune. Ciascuna delle tre relazioni di adiacenza fra vertici, spigoli e facce di un poliedro chiaramente è una mwpwrelazione simmetrica.

Ad esempio, in un tetraedro due vertici e due facce sono sempre adiacenti, mentre uno spigolo è adiacente a tutti gli altri spigoli tranne uno (detto mwqqopposto).

Per fissare una terminologia, si introducono anche tre mwqwrelazioni di incidenza; si dicono mwraincidenti: un vertice e uno spigolo di cui il vertice è estremità; un vertice e una faccia di cui il vertice fa parte; uno spigolo e una faccia della quale lo spigolo è lato.

Per ogni mwta F {\displaystyle F} maggiore o uguale a 4 esiste un poliedro con mwtq F {\displaystyle F} facce. Una prima classificazione dei poliedri riguarda il numero delle loro facce: un poliedro di 4, 5, 6, 7, 8, ...12, ...20, ... facce può essere chiamato rispettivamente mwtgtetraedro, mwtwpentaedro, mwuaesaedro, ettaedro, mwugottaedro,... mwuwdodecaedro,... mwvaicosaedro,... secondo i mwvqprefissi numerici greci usati anche per i mwvgpoligoni. I nomi mwvwottaedro, mwwadodecaedro e mwwqicosaedro sono però generalmente riservati a tre poliedri ben specifici, e non ad un generico poliedro con 8, 12 e 20 facce: si tratta di tre dei 5 mwwgsolidi platonici.

Il numero di facce, spigoli e vertici di un poliedro forma una terna di numeri indicati con mwxa ( F , S , V ) {\displaystyle (F,S,V)} . Il mwxqtetraedro è il più piccolo poliedro, nel senso che esso presenta 4 facce, 6 spigoli e 4 vertici, mentre per tutti i poliedri rimanenti valgono le relazioni mwxg F > 4 {\displaystyle F>4} , mwxw S > 6 {\displaystyle S>6} , mwya V > 4. {\displaystyle V>4.}

Un mw0qpoliedro convesso è un poliedro che individua un solido mw0gconvesso. Questa condizione può essere espressa in vari modi equivalenti.

• Per ogni coppia di punti del solido, il segmento che li unisce è contenuto interamente nel solido (questa è la definizione usuale di mw1qinsieme convesso nello spazio);

• Per ogni coppia di vertici, il segmento che li unisce è contenuto interamente nel solido;cite-ref-2[N 1]

• Il piano contenente ciascuna faccia divide lo spazio in due semispazi, ed il poliedro è interamente contenuto in ciascuno di questi.

Un poliedro non convesso è a volte detto mw3qconcavo.

I poliedri più noti sono convessi. Mentre la definizione generale di poliedro varia a seconda dell'autore, esiste una definizione di poliedro convesso universalmente accettata dai matematici, descritta sotto. Un mw3wsemispazio è una delle due porzioni di spazio delimitate da un piano.

Un mw4gpoliedro convesso è una zona limitata dello spazio ottenuta come mw4wintersezione di un numero finito di semispazi.

A partire da questa definizione, è possibile definire le mw5qfacce come i poligoni ottenuti intersecando il poliedro con i piani che delimitano questi semispazi. Ad esempio, il cubo è un poliedro convesso con 6 facce e può essere ottenuto come intersezione di 6 semispazi, delimitati dai piani contenenti le facce.

Vertici e spigoli di un poliedro formano un mw8agrafo, detto mw8qscheletro del poliedro. Ad esempio, lo scheletro del mw8gtetraedro è un mw8wgrafo completo con 4 vertici.

Lo scheletro di un poliedro convesso è un mw9qgrafo planare: infatti è possibile proiettare da un punto interno del poliedro il grafo su una qualsiasi mw9gsfera centrata nel punto, e quindi successivamente nel mw9wpiano tramite una mw-aproiezione stereografica. Il grafo di un poliedro più complesso può non essere planare.

Lo sviluppo piano di un poliedro è una figura piana che consiste in un certo numero di mwaqupoligoni accoppiati lungo alcuni lati, che possono essere piegati nello spazio in modo da chiudersi e formare un poliedro. Lo sviluppo piano è uno strumento concreto utile per costruire poliedri di carta.

Qualsiasi poliedro convesso può essere costruito a partire da uno sviluppo piano. Lo stesso poliedro può essere costruito a partire da sviluppi piani differenti: l'insieme dei poligoni presenti è sempre lo stesso (sono le facce del poliedro), ma il percorso che queste formano può essere differente.cite-ref-3[N 2]

La mwaristruttura combinatoria di un poliedro è l'insieme dei suoi vertici, spigoli e facce e le relazioni di incidenza fra questi. La mwarmstruttura metrica di un poliedro è invece la struttura del poliedro come mwarqspazio metrico, cioè come spazio dotato di distanza fra punti.

Una mwaryrotazione intorno ad un asse o una mwarctraslazione lasciano immutate le strutture metriche e combinatorie del poliedro. Una mwargomotetia trasforma la struttura metrica (poiché modifica ad esempio le distanze fra i vertici) ma lascia invariata la struttura mwarkcombinatoria. Più in generale, la struttura combinatoria è più flessibile: ad esempio, due mwaroparallelepipedi hanno sempre la stessa struttura combinatoria, ma non necessariamente metrica.

La terna mwarw ( F , S , V ) {\displaystyle (F,S,V)} dà una buona descrizione della struttura combinatoria del poliedro: la descrizione non è però completa, perché non contiene tutte le informazioni sulle adiacenze. Un'ulteriore informazione è la mwar0valenza dei vertici.

Le proprietà topologiche di un poliedro sono quelle che ne descrivono solamente la forma globale. I poliedri più studiati (ad esempio, i convessi) hanno tutti la stessa forma topologica: sono "topologicamente equivalenti" ad una mwasapalla; tali poliedri sono detti mwasesemplici. Per i poliedri semplici vale una formula importante, detta mwasirelazione di Eulero.

La superficie di un poliedro è l'unione delle sue facce. In alcuni casi, come nel mwasogrande icosaedro mostrato in figura, queste facce possono intersecarsi, e formare quindi una figura complicata. Quando questo accade, può non essere chiaro quale sia la porzione solida di spazio da considerare effettivamente "compresa" dalle facce. Questo fenomeno è simile a quello che si presenta in dimensione 2 nei mwasspoligoni stellati.

Nei casi più studiati però le facce non si intersecano e formano effettivamente una mwas0superficie che può essere studiata da un punto di vista mwas4topologico: se ne descrive cioè la forma globale, disinteressandosi degli angoli formati localmente dai vari spigoli e vertici. Una superficie delimita sempre una porzione di spazio.cite-ref-4[N 3]

Da un punto di vista topologico, una mwatosuperficie nello spazio è caratterizzata soprattutto dal "numero di pezzi disgiunti" e dal "numero di buchi". Quando questa è formata da un pezzo solo e non ha buchi, è equivalente ad una mwatssfera. I pezzi disgiunti ed il numero di buchi in matematica sono formalizzati rispettivamente con le nozioni di mwatwcomponente connessa e mwat0genere. Un poliedro con un buco ha una superficie avente la forma di un mwat4toro.

Un poliedro le cui facce formano una superficie con un pezzo solo e senza buchi è detto mwauasemplice. I poliedri convessi, e la maggior parte dei poliedri studiati, sono semplici.

La mwaukrelazione di Eulero collega i numeri mwauo F {\displaystyle F} , mwaus S {\displaystyle S} e mwauw V {\displaystyle V} delle facce, degli spigoli e dei vertici di un poliedro semplice nel modo seguente:

mwau8 F + V − − S = 2. {\displaystyle F+V-S=2.}

Ad esempio:

• per il mwavmcubo:mwavq mwavu F = 6 {\displaystyle F=6} ,mwavy mwavc V = 8 {\displaystyle V=8} ,mwavg mwavk S = 12 {\displaystyle S=12} ,mwavo da cui mwavs mwavw F − − S + V = 6 − − 12 + 8 = 2 {\displaystyle F-S+V=6-12+8=2} .

• per il mwav4tetraedro:mwav8 mwawa F = 4 {\displaystyle F=4} ,mwawe mwawi V = 4 {\displaystyle V=4} ,mwawm mwawq S = 6 {\displaystyle S=6} ,mwawu da cui mwawy mwawc F − − S + V = 4 − − 6 + 4 = 2 {\displaystyle F-S+V=4-6+4=2} .

• per il mwawkprisma a base pentagonale:mwawo mwaws F = 7 {\displaystyle F=7} ,mwaww mwaw0 V = 10 {\displaystyle V=10} ,mwaw4 mwaw8 S = 15 {\displaystyle S=15} ,mwaxa da cui mwaxe mwaxi F − − S + V = 7 − − 15 + 10 = 2 {\displaystyle F-S+V=7-15+10=2} .

• per il mwaxqdodecaedro:mwaxu mwaxy F = 12 {\displaystyle F=12} ,mwaxc mwaxg V = 20 {\displaystyle V=20} ,mwaxk mwaxo S = 30 {\displaystyle S=30} ,mwaxs da cui mwaxw mwax0 F − − S + V = 12 − − 30 + 20 = 2 {\displaystyle F-S+V=12-30+20=2} .

La relazione di Eulero può essere usata per dimostrare ad esempio che non è possibile costruire un pallone da calcio simile a quello in figura ma con facce tutte esagonali.

La relazione di Eulero può non valere nei poliedri non semplici. Ad esempio, in un poliedro a forma di mwayatoro come quello mostrato in figura risulta mwaye V − − S + F = 0 {\displaystyle V-S+F=0} . La quantità mwayi χ χ = V − − S + F {\displaystyle \chi =V-S+F} dipende effettivamente soltanto dalla topologia del poliedro ed è chiamata mwaymcaratteristica di Eulero-Poincaré: si tratta di una quantità molto importante in mwayqtopologia.

I poliedri più studiati sono quelli che presentano numerose mwaycsimmetrie. Una simmetria di un poliedro è una mwaygisometria dello spazio che trasforma il poliedro in se stesso. Le simmetrie di un poliedro formano un mwaykgruppo, detto mwayogruppo di simmetria.

Esistono due classi di mwazeisometria dello mwazispazio euclideo tridimensionale: quelle che preservano l'mwazmorientazione dello spazio (trasformano cioè una mano destra in una mano destra) e quelle che la invertono (trasformano una mano destra in una sinistra). La stessa classificazione si riflette sulle simmetrie di un poliedro.

• Una simmetria del poliedro che preserva l'orientazione deve necessariamente essere una mwazyrotazione intorno ad un assecite-ref-5[N 4] indicata con la lettera mwazs c n {\displaystyle c_{n}} , dove mwazwn è il numero di rotazioni "unitarie" che riportano il poliedro nella configurazione di partenza (e mwaz0 2 π π n = 360 ∘ ∘ n {\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}={\frac {360^{\circ }}{n}}} è l'angolo corrispondente).

• Una simmetria che non preserva l'orientazione può essere:

• l'mwaaeinversione rispetto a un punto, detto mwaaicentro di simmetria, indicata con la lettera mwaam i {\displaystyle i} ;

• una mwaauriflessione lungo un piano, detto mwaaypiano di simmetria mwaac σ σ {\displaystyle \sigma } ;

• la mwaakcomposizione di una riflessione lungo un piano e di una rotazione con asse mwaaoperpendicolare al piano (mwaasrotazione impropria mwaaw s n {\displaystyle s_{n}} ).

Ad esempio, il mwaa4tetraedro ha 7 assi di simmetria: quattro per ogni vertice e tre per ogni coppia di spigoli opposti (si veda la figura). Ha inoltre 6 piani di simmetria (uno per ogni spigolo). Le simmetrie sono però in realtà 24. Di queste, 12 mantengono l'orientazione, e sono: l'mwaa8identità, 2 rotazioni intorno ad ogni asse del primo tipo (di 120° e 240°) e una rotazione di 180° intorno ad un asse del secondo tipo (quindi mwaba 1 + 2 × × 4 + 3 = 12 {\displaystyle 1+2\times 4+3=12} ). Ci sono inoltre 12 simmetrie che non mantengono l'orientazione: 6 sono riflessioni lungo piani come in figura, e altre 6 sono composizioni di riflessioni e rotazioni.

Piani e assi di simmetria sono il risultato della presenza di simmetrie riflessive e rotatorie. L'intersezione di tutti gli assi e di tutti i piani di simmetria può essere un piano, una retta, un punto, o vuota. L'intersezione può essere vuota solo se non vi sono simmetrie.cite-ref-6[N 5] Se l'intersezione è un punto, questo è chiamato mwabccentro del poliedro. Se l'intersezione è una retta, questa è lmwabg'mwabkasse del poliedro.

Ad esempio, il tetraedro ed il cubo hanno un centro. Una mwabspiramide quadrata non ha un centro,cite-ref-7[N 6] ma ha un asse.

Un poliedro è mwacsmwacwchirale se non è equivalente alla sua immagine riflessa. Più precisamente, un poliedro è chirale se tutte le sue simmetrie sono rotatorie: non ha cioè simmetrie che invertono l'orientazione. Più concretamente, un poliedro chirale si comporta come una mano: si presenta in due forme (una "sinistra" e una "destra") che sono una lo specchio dell'altra.

Una simmetria sposta un vertice su un vertice, che può essere uguale o diverso da quello di partenza. Analogamente, sposta uno spigolo su uno spigolo, e una faccia su una faccia. La simmetria determina quindi una mwac8permutazione dei vertici, degli spigoli e delle facce.

Le simmetrie di un poliedro inducono una mwadyrelazione di equivalenza sull'insieme dei suoi vertici (e analogamente sull'insieme dei suoi spigoli e delle sue facce): due vertici (o spigoli o facce) sono mwadcequivalenti se esiste una simmetria che sposta il primo nel secondo.cite-ref-8[N 7] Due vertici (o spigoli o facce) equivalenti devono avere necessariamente lo stesso aspetto: ad esempio, due vertici equivalenti devono avere lo stesso tipo di mwadwcuspide (in particolare, la stessa valenza), due spigoli la stessa lunghezza e lo stesso angolo diedrale e due facce equivalenti devono essere mwad0congruenti. Tutte queste mwad4condizioni necessarie non sono generalmente mwad8sufficienti: possono esistere facce congruenti non equivalenti, spigoli della stessa lunghezza e con lo stesso angolo diedrale non equivalenti, ecc.

Se i vertici di un poliedro sono tutti equivalenti, questo è detto mwaeeregolare sui vertici. Analogamente, se sono equivalenti tutti gli spigoli o tutte le facce, è detto mwaeiregolare sugli spigoli o mwaemsulle facce. I termini mwaeqomogeneo e mwaeutransitivo possono essere usati come sinonimo di mwaeyregolare.cite-ref-9[N 8]

Un poliedro che è regolare sui vertici, sugli spigoli e sulle facce è detto mwaewregolare. Esistono solo 5 poliedri semplici regolari: questi sono i mwae0solidi platonici.

Le simmetrie di un poliedro formano un mwafagruppo con l'operazione di mwafecomposizione. Questo gruppo è sempre un mwafigruppo finito.

Ad esempio, il gruppo di simmetria del tetraedro è il mwafqgruppo di permutazioni mwafu S 4 {\displaystyle S_{4}} di 4 elementi: infatti ogni mwafypermutazione dei 4 vertici è realizzata esattamente da una simmetria. Le simmetrie sono effettivamente mwafc4! = 24.

Le simmetrie che preservano l'orientazione formano un mwafksottogruppo, detto mwafogruppo delle rotazioni. Questo può coincidere con tutto il gruppo (se il poliedro è chirale) oppure avere mwafsindice 2 (se non è chirale). Il tetraedro non è chirale: il gruppo delle rotazioni è il mwafwgruppo alternante mwaf0 A 4 {\displaystyle A_{4}} , avente 12 elementi.

Nonostante la grande varietà di poliedri esistenti, vi sono poche classi di gruppi di simmetrie possibili. Ad esempio, gli unici gruppi che possono essere gruppi di rotazioni di qualche poliedro sono

mwag0 C n , D n , A 4 , S 4 , A 5 {\displaystyle C_{n},D_{n},A_{4},S_{4},A_{5}\,\!}

dove mwag8 C n {\displaystyle C_{n}} è il mwahagruppo ciclico di ordine mwahe n {\displaystyle n} , mwahi D n {\displaystyle D_{n}} è il mwahmgruppo diedrale di ordine mwahq 2 n {\displaystyle 2n} , mwahu S n {\displaystyle S_{n}} è il mwahygruppo simmetrico di ordine mwahc n ! {\displaystyle n!} e mwahg A n {\displaystyle A_{n}} è il mwahkgruppo alternante di ordine mwaho n ! / 2 {\displaystyle n!/2} . I gruppi mwahs C n {\displaystyle C_{n}} e mwahw D n {\displaystyle D_{n}} sono ottenuti anche come gruppi di rotazione e di simmetria di un mwah0poligono regolare con mwah4 n {\displaystyle n} lati: sono quindi gruppi che si ottengono anche nel piano, e la loro presenza non è quindi sorprendente.cite-ref-10[N 9]

I gruppi mwaiq A 4 , S 4 {\displaystyle A_{4},S_{4}} e mwaiu A 5 {\displaystyle A_{5}} sono quindi gli unici gruppi di rotazioni essenzialmente tridimensionali. Sono i gruppi di rotazioni dei 5 solidi platonici: mwaiy A 4 {\displaystyle A_{4}} per il tetraedro, mwaic S 4 {\displaystyle S_{4}} per cubo e mwaigottaedro, mwaik A 5 {\displaystyle A_{5}} per mwaioicosaedro e mwaisdodecaedro. I solidi platonici giocano qui (come in molti altri contesti) un ruolo centrale.

Due poliedri mwaju P {\displaystyle P} e mwajy Q {\displaystyle Q} sono mwajcduali se hanno i ruoli di vertici e facce scambiati. Più precisamente, ad ogni vertice, spigolo o faccia di mwajg P {\displaystyle P} corrisponde rispettivamente una faccia, spigolo o vertice di mwajk Q {\displaystyle Q} , in modo che siano preservate adiacenze e incidenze. Ad esempio, se un vertice di mwajo P {\displaystyle P} è adiacente ad uno spigolo di mwajs P {\displaystyle P} , la corrispondente faccia di mwajw Q {\displaystyle Q} è adiacente al corrispondente spigolo di mwaj0 Q {\displaystyle Q} .

In particolare, le terne di numeri mwaj8 ( V , S , F ) {\displaystyle (V,S,F)} dei due poliedri sono l'una l'opposta dall'altra. Ad esempio, il mwakacubo, avente mwake ( V , S , F ) = ( 8 , 12 , 6 ) {\displaystyle (V,S,F)=(8,12,6)} è duale dell'mwakiottaedro, avente mwakm ( V , S , F ) = ( 6 , 12 , 8 ) {\displaystyle (V,S,F)=(6,12,8)} . In molti casi (come questo) la dualità è realizzata in modo che i vertici di mwakq Q {\displaystyle Q} siano punti interni delle corrispondenti facce di mwaku P {\displaystyle P} (si veda un esempio in figura).

Ogni mwakcpoliedro convesso ha un mwakgpoliedro duale, che può essere definito come il risultato di una mwakkinversione rispetto ad una sfera. Quando il poliedro ha un centro, è naturale prendere come sfera una sfera centrata in questo punto. La costruzione del duale di poliedri non convessi è più problematica.

Un mwak4prismatoide è un poliedro i cui vertici giacciono in due piani paralleli. Tranne rare eccezioni,cite-ref-11[N 10] i prismatoidi hanno generalmente al più un asse di simmetria (mwalmortogonale ai piani paralleli), ed il loro gruppo di simmetrie è ciclico (mwalq C n {\displaystyle C_{n}} ) o diedrale (mwalu D n {\displaystyle D_{n}} ), simile cioè al gruppo di simmetrie di un mwalypoligono nel piano.

Esistono varie famiglie infinite di prismatoidi. Qui sono elencate le più usate.

mwalo mwalsmwalwmwal0mwal4 mwamimwammPiramide mwamqmwamu mwamkmwamoPrisma mwamsmwamw mwanamwaneAntiprisma mwanimwanm mwancmwangPrisma stellato mwankmwano mwan4mwan8Cupola mwaoamwaoe mwaoumwaoyTronco di piramide

• Una mwaokpiramide ha una faccia detta mwaoobase ed un altro vertice collegato a questa tramite facce triangolari.

• Un mwaowprisma ha due facce mwao0congruenti che giacciono su due piani paralleli, collegate con mwao4parallelogrammi laterali.

• Un mwapaantiprisma è simile al prisma: ha due facce congruenti su due piani paralleli, collegate però con triangoli.

• Un mwapiprisma stellato o un mwapmantiprisma stellato è definito analogamente: le due facce sono però mwapqpoligoni stellati.

• Una mwapycupola ha due facce non congruenti, collegate da rettangoli e triangoli.

• Un mwapgtronco di piramide ha due facce non congruenti ma mwapksimili, collegate da mwapotrapezi.

Esistono esattamente 5 poliedri semplici regolari sulle facce, sugli spigoli e sui vertici. Questi sono i mwap4solidi platonici. Questi poliedri sono detti anche mwap8regolari.

mwaqi mwaqmmwaqqmwaqumwaqy mwaqomwaqsTetraedromwaqw(4,6,4)mwaq0(3,3) mwaq4mwaq8 mwarmmwarqCubomwaru(6,12,8)mwary(4,3) mwarcmwarg mwarwmwar0Ottaedromwar4(8,12,6)mwar8(3,4) mwasamwase mwasumwasyDodecaedromwasc(12,30,20)mwasg(5,3) mwaskmwaso mwas4mwas8Icosaedromwata(20,30,12)mwate(3,5)

La tabella indica per ogni solido platonico la terna mwatm ( F , S , V ) {\displaystyle (F,S,V)} ed una coppia mwatq ( N , M ) {\displaystyle (N,M)} , con mwatu N {\displaystyle N} pari al numero di lati di ogni faccia e mwaty M {\displaystyle M} pari al numero di spigoli su ogni vertice (cioè la sua mwatcvalenza). Cubo e ottaedro sono duali, dodecaedro e icosaedro sono duali. Il tetraedro è duale a se stesso (la dualità inverte le terne e le coppie di numeri nelle tabelle).

Il centro di ogni solido platonico è anche centro di una sfera inscritta (interna e tangente a tutte le facce) e di una sfera circoscritta (esterna e contenente tutti i vertici).

I poliedri, per essere mwatoregolari, oltre ad avere come facce poligoni regolari tutti uguali, devono anche avere tutti gli spigoli e i vertici equivalenti.

I solidi platonici giocano un ruolo centrale nella mwatwgeometria solida: sono i solidi che presentano la maggiore regolarità possibile e il maggior numero di simmetrie. I loro mwat0gruppi di simmetrie hanno collegamenti con le sezioni più disparate della matematica. Hanno inoltre un posto di rilievo nella storia del pensiero mwat4greco, mwat8arabo e mwauarinascimentale. mwauePlatone, nel mwauiTimeo, associò ad ognuno di essi un elemento: al tetraedro il fuoco, al cubo la terra, all'ottaedro l'aria, all'icosaedro l'acqua, mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell'mwaumuniverso.

Oltre ai 5 poliedri platonici, esistono altri 4 poliedri regolari non semplici. Le facce di questi poliedri si intersecano vicendevolmente: due di questi, scoperti da mwaucKeplero, hanno come facce mwaugpoligoni regolari stellati; altri due, scoperti da mwaukLouis Poinsot, hanno facce regolari non stellate, ma comunque intrecciate.

mwauw mwau0mwau4mwau8mwavamwavemwavqmwavuPiccolo dodecaedro stellato mwavy(12,30,12)mwavc(5,5) mwavgmwavkmwavomwav0mwav4Grande dodecaedro mwav8(12,30,12)mwawa(5,5) mwawemwawimwawmmwawymwawcGrande dodecaedro stellato mwawg(12,30,20)mwawk(5,3) mwawomwawsmwawwmwaw8mwaxaGrande icosaedro mwaxe(20,30,12)mwaxi(3,5)

I due poliedri stellati hanno come facce 12 pentagoni stellati (mwaxqpentagrammi). I valori mwaxu ( F , S , V ) {\displaystyle (F,S,V)} e mwaxy ( N , M ) {\displaystyle (N,M)} hanno lo stesso significato descritto precedentemente. I primi due poliedri sono uno duale dell'altro, come lo sono anche gli ultimi due.

Un mwax8poliedro uniforme è un poliedro

• regolare sui vertici,

• le cui facce sono mwaympoligoni regolari.

Il poliedro non è necessariamente semplice. I poliedri uniformi sono catalogati nel modo seguente:

• Famiglie infinite di mwaycprismatoidi: mwaygprismi, mwaykantiprismi, mwayoprismi stellati e mwaysantiprismi stellati regolari.

• I 5 mway0solidi platonici e i 4 mway4solidi di Keplero-Poinsot, che sono regolari anche su spigoli e facce.

• 13 altri solidi convessi, detti mwazasolidi archimedei.

• 54 altri solidi non convessi (con facce convesse o stellate).

I poliedri duali dei poliedri uniformi sono regolari sulle facce e hanno cuspidi regolari. Tra questi, i 13 solidi duali dei solidi archimedei sono detti mwazmpoliedri di Catalan dal nome del matematico belga mwazqEugène Charles Catalan.

Un mwaz0solido di Johnson è un poliedro convesso

• non regolare sui vertici,

• le cui facce sono poligoni regolari.

In altre parole, i solidi di Johnson sono i solidi convessi con facce regolari che non sono uniformi.

I solidi di Johnson sono 92, e vengono generalmente indicati con una sigla che va da mwa0m J 1 {\displaystyle J_{1}} fino a mwa0q J 92 {\displaystyle J_{92}} .

I solidi convessi aventi facce regolari sono quindi: prismi e antiprismi regolari (in quantità infinita), i solidi platonici (5), i solidi archimedei (13) e quelli di Johnson (92).

Un mwa04poliedro composto è un poliedro ottenuto come unione di più poliedri distinti aventi lo stesso centro. Un poliedro di questo tipo generalmente non è convesso.

Ad esempio, la mwa1astella octangula mostrata precedentemente può essere descritta come poliedro composto, formato da due tetraedri, aventi lo stesso centro ma posizionati in modo differente.

I poliedri composti più importanti sono quelli che presentano molte simmetrie. Ad esempio il poliedro mostrato accanto in figura, denominato mwa1icinque tetraedri nel dodecaedro, è effettivamente l'unione di 5 tetraedri concentrici: ha mwa1m 5 × × 4 = 20 {\displaystyle 5\times 4=20} vertici, i quali sono anche i vertici di un mwa1qdodecaedro regolare.

Alcune operazioni permettono di trasformare un poliedro in un altro, o di affiancare più poliedri in modo da ricoprire lo spazio.

Il mwa1ktroncamento di un vertice mwa1o v {\displaystyle v} di un poliedro consiste nell'eliminazione di una porzione di poliedro (una mwa1scuspide) tramite un taglio vicino a mwa1w v {\displaystyle v} . Il pezzo da rimuovere è una mwa10piramide con vertice in mwa14 v {\displaystyle v} e base determinata dal piano lungo cui viene fatto il taglio. La base è un poligono con mwa18 n {\displaystyle n} lati, dove mwa2a n {\displaystyle n} è la mwa2evalenza di mwa2i v {\displaystyle v} .

Il nuovo poliedro ha una faccia in più del precedente. Troncando un vertice alla volta, è quindi possibile, partendo dal tetraedro, costruire poliedri con un numero arbitrario 4, 5, 6... di facce.

Molti mwa2usolidi archimedei sono ottenuti troncando opportunamente tutti i vertici di un solido platonico. Una troncatura variabile può essere usata in alcuni casi per passare da un poliedro al suo duale, come in questa sequenza che collega il cubo all'ottaedro:

mwa2g mwa2kmwa2omwa2smwa2w mwa3amwa3eCubo mwa3imwa3m mwa3cmwa3gCubo troncato mwa3kmwa3o mwa34mwa38Cubottaedro mwa4amwa4e mwa4umwa4yOttaedro troncato mwa4cmwa4g mwa4wmwa40Ottaedro

La mwa5emwa5istellazione è un'operazione definita da mwa5mKeplero nel mwa5q1619: consiste nell'estendere alcune facce del poliedro fino ad un punto in cui queste si incontrano nuovamente. Con questa operazione Keplero costruì, partendo dal mwa5udodecaedro regolare, due dei quattro poliedri noti oggi come mwa5ysolidi di Keplero-Poinsot. La mwa5cstella octangula è una stellazione dell'mwa5gottaedro regolare.

Qui sotto sono elencate alcune stellazioni: una dell'ottaedro regolare (la stella octangula), tre del dodecaedro regolare (le prime due sono i solidi di Keplero), e una dell'icosaedro.

mwa5w mwa50mwa54mwa58mwa6a mwa6qOttaedro mwa6umwa6y mwa6oDodecaedro (1) mwa6smwa6w mwa7aDodecaedro (2) mwa7emwa7i mwa7yDodecaedro (3) mwa7cmwa7g mwa7wIcosaedro

Alcuni poliedri possono essere usati come mattoni per riempire lo spazio senza lasciare buchi, similmente a quanto accade nelle mwa8aarnie: una tale operazione è detta mwa8etassellazione dello spazio (o mwa8ipavimentazione dello spazio). I poliedri in una tassellazione sono adiacenti lungo le loro facce. Fra i solidi platonici, l'unico in grado di tassellare lo spazio è il cubo; fra i solidi archimedei, vi sono il mwa8mdodecaedro rombico e l'mwa8qottaedro troncato. Ottaedri e tetraedri regolari possono essere usati a coppie per tassellare lo spazio.

mwa8c mwa8gmwa8kmwa8omwa8s mwa88Cubi mwa9amwa9e mwa9umwa9yDodecaedri rombici mwa9cmwa9g mwa9wmwa90Ottaedri troncati mwa94mwa98 mwa-mOttaedri e tetraedri

Molti mwa-gminerali mwa-kcristallizzano con una forma, detta mwa-oabito, che corrisponde ad un poliedro. La mwa-spirite si può presentare con tre abiti diversi: con cristalli cubici, ottaedrici o aventi la forma di un dodecaedro non regolare (detto mwa-wpentadodecaedro o mwa-0piritoedro). Nessun minerale ha però la forma di un icosaedro o dodecaedro mwa-4regolare.

mwa-e mwa-imwa-mmwa-qmwa-u mwa-kCubo mwa-omwa-s mwa-8Ottaedro mwbaamwbae mwbauDodecaedro

La mwbacleucite può avere la forma di un mwbagicositetraedro trapezoidale (un mwbaksolido di Catalan). Il mwbaopiropo può avere la forma di un mwbasdodecaedro rombico (un mwbawpoliedro di Catalan) e l'mwba0aragonite la forma di un mwba4prisma esagonale.

mwbbe mwbbimwbbmmwbbq mwbbymwbbcIcositetraedro trapezoidale mwbbgmwbbk mwbb0mwbb4Dodecaedro rombico mwbb8mwbca mwbcqmwbcuPrisma esagonale

Molti organismi microscopici hanno forme o simmetrie poliedrali. Tra questi, i mwbcgradiolari possono avere la forma di un mwbckicosaedro regolare o di un mwbcogeode. Nella forma geodale, è possibile verificare una delle conseguenze della mwbcsrelazione di Eulero descritta sopra: non è possibile costruire un solido i cui vertici hanno valenza 3 e le cui facce sono tutte esagonali. Nella figura sono infatti presenti alcuni pentagoni.cite-ref-12[N 11] Le regolari geometrie degli scheletri di questi microorganismi hanno affascinato dalla fine del mwbdaXIX secolo molti naturalisti, tra cui mwbdeErnst Haeckelcite-ref-13[2] e mwbdyThompson D'Arcy,cite-ref-14[3] che hanno anche cercato una interpretazione integrata fra biologia e geometria sul significato di queste strutture:

mwbd0 mwbd4mwbd8mwbeamwbee mwbeuIcosaedrocite-ref-15[4] mwbeo mwbewmwbe0Geode

Il solido artificiale più antico di cui è rimasta traccia è sicuramente la piramide.

mwbfm mwbfqmwbfumwbfymwbfc mwbfsmwbfwPiramidi egizie mwbf0mwbf4 mwbgi Piramide del mwbgmLouvre

Il mwbgydado da gioco classico ha la forma di un cubo. Alcuni mwbgcgiochi di ruolo fanno però uso di tutti e 5 i solidi platonici: la regolarità del solido infatti garantisce che ogni faccia abbia la stessa probabilità di uscire dopo un lancio (naturalmente la mwbggdensità del solido dev'essere uniforme).

mwbgs mwbgwmwbg0mwbg4mwbg8 mwbhmI solidi platonici e due mwbhqtrapezoedri usati come dadi.

Per mantenere la stessa probabilità è sufficiente che il solido sia regolare sulle facce: per questo motivo vengono usati anche i mwbhytrapezoedri. Ad esempio, due trapezoedri con 10 facce come in figura usati simultaneamente permettono di sorteggiare un numero da 0 a 99.

Una mwbhkcupola geodetica è un solido con molte facce, la cui forma è molto simile a quella di una mwbhosfera (o di una porzione di questa). Come nei radiolari mostrati sopra, nelle cupole geodetiche è spesso facile verificare gli effetti della mwbhsrelazione di Eulero.

mwbh4 mwbh8mwbiamwbiemwbii mwbiymwbicDisneyworld mwbigmwbik mwbi0 mwbi4Montréal mwbi8mwbja mwbjq mwbjuMuseo Dalí a mwbjyFigueres

cite-note-2N 1. ↑ Un tale segmento talora viene detto mwbj8diametro del poliedro; altri definiscono diametro di un poliedro un qualsiasi segmento aventi gli estremi su vertici, spigoli o facce, e gli altri punti all'interno del solido.

cite-note-3N 2. ↑ Uno sviluppo è infatti determinato dall'albero massimale nel grafo poliedrale formato dagli spigoli che vengono incollati alla chiusura. Alberi massimali diversi possono dare luogo a sviluppi diversi.

cite-note-4N 3. ↑ Questo fatto, benché intuitivo, non è di banale dimostrazione: si tratta dell'analogo tridimensionale del mwbkcteorema della curva di Jordan. Il fatto che la superficie sia un'unione di poligoni rende comunque più facile la dimostrazione: senza questa ipotesi si possono creare superfici come la mwbkgsfera cornuta di Alexander, che si comportano in modo più bizzarro.

cite-note-5N 4. ↑ Questo fatto non banale può essere dimostrato con l'ausilio dell'mwbkwalgebra lineare: innanzitutto, il fatto che il poliedro sia un mwbk0insieme limitato, implica che devono essere escluse isometrie come le mwbk4traslazioni, e che c'è un mwbk8punto fisso. Fissata l'origine in questo punto, lo spazio diventa uno mwblaspazio vettoriale e (fissata una mwblebase) una isometria è descritta da una mwblimatrice ortogonale. Usando il mwblmpolinomio caratteristico e gli mwblqautovalori si mostra che effettivamente questa è una rotazione intorno ad un asse.

cite-note-6N 5. ↑ La dimostrazione di quest'altro fatto non banale sfrutta la proprietà che un poliedro è un mwblginsieme limitato. Questo fatto implica, ad esempio, che più assi di simmetria si incontrano sempre in un punto.

cite-note-7N 6. ↑ La piramide quadrata ha un asse di simmetria rotatoria (passante per il vertice e ortogonale alla base) e alcuni piani di riflessione contenenti questo asse. L'intersezione di questi oggetti è una retta e non un punto.

cite-note-8N 7. ↑ Oppure il secondo nel primo: la cosa non fa differenza, basta sostituire una simmetria con la sua mwbl8simmetria inversa.

cite-note-9N 8. ↑ Il termine mwbmmomogeneo si riferisce al fatto che i vertici formano con le simmetrie uno mwbmqspazio omogeneo, mentre il termine mwbmutransitivo si riferisce al fatto che l'mwbmyazione del gruppo di simmetria è mwbmctransitiva: entrambe queste nozioni sono equivalenti al fatto che i vertici sono tutti equivalenti.

cite-note-10N 9. ↑ Nello spazio, questi sono i gruppi delle rotazioni di piramidi e prismi (e più generalmente dei mwbmsprismatoidi).

cite-note-11N 10. ↑ Ad esempio il tetraedro e il cubo.

cite-note-12N 11. ↑ Per la formula di Eulero, questi devono essere necessariamente 12, come nel mwbnipallone da calcio.

cite-note-11. ↑ Il problema è affrontato da un punto di vista storico e matematico in mwbno(mwbnsmwbnwEN) B. Grünbaum, mwbn0mwbn4Are your polyhedra the same as my polyhedra? (mwbn8mwboaPDF), in mwboeDiscrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, Aronov et al. Springer, 2003, pp.mwboi 461-488. mwbomURL consultato l'11 febbraio 2007 mwboq(archiviato dall'mwbouurl originale il 3 agosto 2016).

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• mwbq4Angolo solido

• mwbraPoligono

• mwbriPolitopo

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